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数学正卷答题卡 填空题 解答题: 15.(本小题满分14分) 16.(本题满分14分) 17.(本题满分14分) 18.(本题满分16分) 19.(本题满分16分) 20.(本题满分16分) 数学附加题答题卡 21.A小题答题区(本题满分10分) 21.B小题答题区(本题满分10分) 22.【必做题】(本题满分10分) 23.【必做题】(本题满分10分) 1 江苏省江浦高级中学 2020 届高三第二学期期初试卷 数 学Ⅰ 2020.2 参考公式：球的体积公式 3 4 3 V R?= ，其中 R 为球的半径． 柱体的体积V Sh= ，其中 S 为柱体的底面积， h 为高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡．．．相应的位．．．． 置上．．. 1.已知集合 { | 2 1 2}P x N x= ? ? ? ? ? ，则集合 P 的子集个数是 ▲ ． 2.已知复数 3 1 i z i + = ? ，其中 i是虚数单位，则 z = ▲ ． 3.某学校组织学生参加宪法日答题活动，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组区间 是：? )20,40 ，? )40,60 ，? )60,80 ，? ?80,100 ，该校参与答题活动的学生共 1000 人，则 答题分数不低于 80 分的人数为 ▲ ． 4.在平面直角坐标系中，双曲线 2 2 1 9 16 x y ? = 的左顶点到其一条渐近线的距离为 ▲ ． 5.甲、乙两名农业技术人员，分别到三个乡村进行“帮扶脱贫”，则这两名技术人员到同一 乡村的概率是 ▲ ． 6.“ 1m = ”是“直线 1 : 1 0l x my+ + = 与直线 2 : 1 0l x my? ? = 垂直”的 ▲ 条件．（用 “充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”之一填空） 7.已知函数 ( ) 2 3 1 , 0 1 , 0 x x x x f x ? ?? ?= ? ? ? ?? ，则 ( )( )8f f = ▲ ． （第 3 题） （第 8 题） 2 8. 如图，在一个底面边长为 2cm 的正六棱柱容器内有一个半径为 3cm的铁球，现向容器 内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降 ▲ cm． 9.设函数 ( ) sin( )f x x ? ? ? = + ( 0,0 )? ? ?? ? ? 是 R 上的偶函数，且在 (0,4)上单调递减， 则实数?的最小值为 ▲ ． 10.若正数 ,a b满足 2( ) 5ab a b= + + ，设 ( 4)(12 )y a b a b= + ? ? ? ，则 y 的最大值是 ▲ ． 11.在 ABC? 中，已知 3, 2, 120AB AC A= = = ?，若点 ,D E 满足 3BC BD= ， AE AC AB?= ? （ R?? ），且 6AD AE ?? = ，则实数? = ▲ ． 12．已知?ABC的内角 , ,A B C 的对边长 , ,a b c满足 2b ac= ， ( ) 1 cos cos 2 ? = +A C B ，延 长 BA 至D 使得 4=BD ，当?ACD面积在最大值为 3 时，则 =a ▲ ． 13.已知函数 ( )f x 为定义在R 上的奇函数，且 0x ? 时， ( ) 2 2 2f x x x= ? + ．若对任意 ? )1 1,0x ? ? ，都存在唯一的 ? )2 0,x ? +? ，使得 ( ) ( )1 2f x f x a+ = 成立，则实数a 的取值 范围是 ▲ ． 14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 nA ， nB 是圆 2 2 2x y n+ = 上两个动点，且满足 2 2 n n n OA OB? = ? （ *Nn? ），设 nA ， nB 到直线 3 ( 1) 0x y n n+ + + = 的距离之和的最大 值为 na ，若数列 1 { } na 的前 n 项和 nS m? 恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文．．．．．．．．．．．．．．．．．． 字说明、证明或演算步骤．．．．．．．．．．．.． 15.（本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) ( )2cos 3sin cos 1f x x x x= + ? ． （1）求 ( )f x 的最小正周期和单调减区间； （2）若 ( ) 8 5 f ? = ， , 4 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ，求cos 2?的值． 3 16．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD为梯形， //CD AB ， 2AB CD= ，AC 交 BD 于O ，锐角 PAD? 所在平面 PAD⊥底面 ABCD，PA BD⊥ ，点Q 在侧棱 PC 上，且 2PQ QC= ． （1）求证： //PA 平面QBD； （2）求证：BD AD⊥ ． 17.（本小题满分 14 分） “百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行 垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利 ( )0a a ? 万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改 造后，开发引进生态项目.经过测算，发现该流水线改造后获利 ( )f x 万元与技术投入 x 万元 之间满足的关系式： ( ) ( )4f x x a x= ? .该公司希望流水线改造后获利不少于 2x? 万元，其 中?为常数，且 1? ? ． （1）试求该流水线技术投入 x 的取值范围； （2）求流水线改造后获利 ( )f x 的最大值，并求出此时的技术投入 x 的值． 18.（本小题满分 16 分） 已知点 M，N 分别是椭圆 C： 2 2 1 16 4 x y + = 的上、下顶点，以MN 为直径作圆C?，直线 l 与椭圆 C 交于 M，P 两点，与圆C?交于 M，Q 两点． （1）若直线 l 的倾斜角为45?，求 OPQ? （O 为坐标原点）的面积； （2）若点 ( ),0RR x ， ( ),0SS x 分别在直线 NP， NQ上， 且 PR PS= ，求直线 l 的斜率． （第 16 题） P A B CD Q O y x N （第 18 题） M O 4 19.（本小题满分 16 分） 设 nS 数列? ?na 的前 n 项和，对任意 *n?N ，都有 ( )( )1n nS an b a a c= + + + （ , ,a b c为 常数）． （1）当 4 5 0, , 3 3 a b c= = = ? 时，求 nS ； （2）当 1 , 0, 0 2 a b c= = = 时， （ⅰ）求证：数列? ?na 是等差数列； （ⅱ）若数列? ?na 为递增数列且 4 5 2 79, 14a a a a+ = ? = ，设 lg 3 n n n a b = ，试问是否 存在正整数 ,p q（其中1 p q? ? ），使 1, ,p qb b b 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的 数组 ( ),p q ；若不存在，说明理由． 20.（本小题满分 16 分） 已知函数 ( ) lnf x x x x= + ， ( ) x x g x e = ． （1）若不等式 ( ) ( ) 2f x g x ax? 对 ? )1,x? +? 恒成立，求 a 的最小值； （2）证明： ( ) ( )1f x x g x+ ? ? ． （3）设方程 ( ) ( )f x g x x? = 的实根为 0x ．令 ( ) ( ) ( ) 0 0 ,1 , , , f x x x x F x g x x x ? ? ??? = ? ??? 若存在 1x ， ( )2 1,x ? +? ， 1 2x x? ，使得 ( ) ( )1 2F x F x= ，证明： ( ) ( )2 0 12F x F x x? ? ． 1 江苏省江浦高级中学 2020 届高三第二学期期初试卷 数学Ⅱ（附加题） 2020．2 21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．． 答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知点 ( ),a b 在矩阵 1 3 2 4 A ? ? = ? ? ? ? 对应的变换作用下得到点 ( )4,6 ． （1）写出矩阵 A 的逆矩阵； （2）求a b+ 的值． B．选修 4—4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 cos 3 sin sin 3 cos 2 x y ? ? ? ? ? = ?? ? = + +?? （? 为参数）， 以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）若直线 1l ， 2l 的极坐标方程分别为 ( ) 6 R ? ? ?= ? ， ( ) 2 3 R ? ? ?= ? ，设直线 1l ， 2l 与曲线 C的交点分别为 M，N（除极点外），求 OMN△ 的面积． C．选修 4—5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知正数 , ,x y z 满足 1x y z+ + = ，求 1 1 1 + 2 2 2x y y z z x + + + + 的最小值. 2 【必做题】 第 22、23 题，每小题 10 分，共 20 分．解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 已知 2 2 ( )nx x ? ( *n?N )的展开式中，第 5 项与第 3 项的二项式系数之比是14 :3． （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项． 23．（本小题满分 10 分） 已知四棱锥 P ABCD? 的底面为直角梯形， 90ADC DCB? =? = ?， 1AD = ， 3BC = ， 2PC CD= = ， PC ABCD⊥底面 ，E 为 AB 的中点． （1）求异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值； （2）设 F 是棱 PA 上的一点，当CF ⊥平面 PDE 时，求直线 DF 与平面 PDE 所成角的 正弦值． E A B D C P （第 23 题）